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Friday, May 17, 2019

Weekly Tip INAMAT: Funciones especiales

Por Blanca Bujanda

Hace unas pocas semanas INAMAT participó como patrocinador en el V Congreso de la Red de Polinomios Ortogonales y Teoría de Aproximación (ORTHONET) realizado en Pamplona durante los días 28 y 29 de marzo de 2019. Asistir o colaborar en la organización de un congreso puede ser un buen momento para plantearte cómo “traducir” a un lenguaje menos matemático y más coloquial, qué son y para qué sirven los polinomios ortogonales y las funciones especiales con el fin de poder contar a tus amigos y familiares el tema que investigas en este momento. Para un investigador no siempre es fácil explicar de manera sencilla cuestiones que, a veces, son muy teóricas, muy abstractas o muy específicas; pero, seguramente, lo más difícil es explicar qué es ese tema (de matemáticas, ¡uf!) tan interesante que hace que se te olvide que el mundo está ahí y que, a veces, prefieras estar en tu mesa trabajando en lugar de tomarte unos vinos con los amigos.
En esta tesitura te levantas un lunes por la mañana, mientras desayunas conectas la tablet: miras el tiempo, lees el correo, el periódico y en una cookie aparece una oferta fantástica sobre el viaje de tu vida (¿cómo conocen tus gustos?), rápidamente usas PayPal y contratas ese viaje tan increíble. El tiempo ha pasado y no tienes claro si llegas a la villavesa, no importa, mientras bajas en el ascensor consultas el móvil para ver en tiempo real dónde se encuentra en ese momento. De camino te llama tu padre para recordarte que tiene que hacerse una radiografía. En la villavesa consultas una macroencuesta sobre el voto en las próximas elecciones… y eso sin llegar todavía a la universidad.
Sin duda estas dos horas, tan normales en nuestra vida actual, no tienen nada que ver con el modo de vida de nuestros antepasados del siglo XVII. La criptografía, la estadística, los rayos X, la física cuántica, ... eran temas en muchos casos desconocidos y en otros despertando en su camino hacia el futuro científico.
La teoría de funciones especiales en general, y de polinomios ortogonales en particular, es una rama de las Matemáticas cuyo origen se remonta al siglo XVII motivada, entre otras cosas, por el estudio de los grandes números y de los números primos; esto números son la base de la criptografía y por lo tanto imprescindibles en la sociedad actual. Interesante el siglo XVIII cuando Newton describió su teoría de la gravedad, el siglo XIX cuando matemáticos de la talla de Legendre, Jacobi, Euler, Lagrange… descubrieron el amplio campo de las ecuaciones diferenciales y empezaron a desarrollar diversas técnicas para su resolución.
Seguramente la primera familia de polinomios ortogonales que apareció fueron los polinomios de Legendre

que permiten estudiar, entre otras cuestiones, como se produce la atracción de un cuerpo por otro cuerpo esférico, y que verifican, entre otras, las curiosas propiedades de que todos sus ceros (raíces) son reales, distintos, simétricos respecto al origen y de módulo menor que uno. Y le siguieron (no necesariamente en este orden) Laplace y Fourier con sus transformadas, Chebyshev y sus polinomios con sus inmensas aplicaciones en Mecánica Celeste, Laguerre y Jacobi con sus conocimientos puestos al servicio de la mecánica cuántica y del gato (de Schrödinger, por supuesto).

Los polinomios ortogonales, en cualquier caso, se enmarcan dentro de las funciones especiales. Complicado definir las funciones especiales porque no existe una definición general, aunque se puede pensar en ellas como “funciones que poseen nombres debido a su gran importancia en matemáticas, física…”. Un listado muy completo de ellas se puede encontrar en el NIST Handbook of Mathematical Function.
Algunas funciones especiales sencillas de todos conocidas y extremadamente estudiadas son: las trigonométricas, los logaritmos, las exponenciales, las hiperbólicas. Algo menos conocidas (pero no menos útiles ni interesantes) pueden ser las funciones gamma de Euler, Beta, función de Bessel, Zeta de Riemann…


                    (función Gamma)
 


Preciosas e interesantes funciones son las Gammas Incompletas:


Que cumplen que  si a≠0,-1,-2,-3,…
Las funciones especiales admiten diferentes tipos de representaciones, como la representación integral anterior, y diferentes aproximaciones utilizando desarrollos en serie de potencias o asintóticos entre otros. Las ventajas e inconvenientes de cada uno de ellos son muchas, por ese motivo una de las líneas de investigación actuales de nuestro grupo es la búsqueda de desarrollos “óptimos” en un número amplio de situaciones.
Pero… como dijo un célebre escritor y poeta “eso es otra historia” o, en este caso, “eso es (para) otra (otras muchas) Weekly Tip”.
Blanca Bujanda



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