• EN
  • ES


Noticeboard


Tuesday, December 20, 2016

Weekly Tip INAMAT: Artículo de Opinión: Sobre entropía, ordenaciones y números

Por Esteban Induráin

Desde hace más de veinticinco años vengo dedicándome al estudio de estructuras ordenadas y su representación numérica. Por fijar ideas, el problema de fondo consiste en traducir comparaciones u ordenaciones entre objetos, del tipo -pongo por caso- "este objeto es al menos tan bueno como aquel", a valores numéricos. De esta manera, pretendemos tener perfectamente reflejada la comparación u ordenación mediante esos valores, de forma que un objeto es "mejor" que otro si y solamente si le hemos asignado un valor numérico mayor. Esto es, esa escala numérica dará lugar a poder decir algo así como "Tanto tienes, tanto vales" para los elementos del conjunto donde se hizo la comparación.

En definitiva, en esta teoría se trata de traducir o interpretar escalas cualitativas (i.e.: comparaciones, preferencias, ordenaciones, jerarquías, rangos, etc...) en escalas cuantitativas, basadas en comparaciones directas entre números.

Problemas de esta naturaleza son frecuentes en teorías científicas muy diversas, a saber, en la Teoría de Utilidad en Ecónoma que trata de traducir a escala numérica las preferencias de un consumidor, en la Teoría de la Medición en Psicología Matemática y Ciencias Cognitivas que trata de traducir a coeficientes de inteligencia - números, a fin de cuentas - las distintas cualidades y aptitudes de los individuos, en distintas teorías acerca del concepto de entropía en Termodinámica en Física, o en el estudio de reacciones e irreversibilidad de procesos en Química, o en Teoría de la Computación al tratar de estudiar si una determinada parte de un programa informático ha de venir necesariamente antes que otra en un determinado algoritmo o proceso computacional. Podríamos poner aquí un sinfín de ejemplos de lo más variopinto (los hay también en Lógica Matemática y Razonamiento, en Teoría de la Decisión, en Finanzas, etc., etc.).

Todas estas teorías descansan sobre un mismo sustrato matemático, a saber, el estudio de representaciones numéricas de distintas estructuras ordenadas (técnicamente denominadas ordenes lineales, preórdenes totales, órdenes intervalo, semiórdenes, relaciones acíclicas, etc., etc.).

Simulación ordenador entropía
Foto: Simulación de ordenador en la que unas  moscas van moviéndose por la pantalla y ordenándose hasta componer tu retrato. Está tomada en febrero de 2016 en el Museo de la Ciencia de Linz (Austria).

Volviendo al punto de partida original, resulta que no siempre va a ocurrir que una determinada escala cualitativa vaya a tener una traducción el mediante una escala numérica cuantitativa. En otras palabras, no siempre nos va a ser posible utilizar números para comparar u ordenar objetos. Se necesitan aquí condiciones técnicas adicionales que, una vez satisfechas, garantizaran la existencia de una tal representación. Tales condiciones técnicas, de tipo matemático abstracto, son precisamente las claves a analizar en estas disciplinas.

Y podemos decir aquí que muchas de estas teorías científicas (Utilidad en economía, Entropía en Termodinámica Física y en Química, Medición en Psicología, etc., etc.) han ido evolucionando “per se" muchas veces ignorándose unas a otras, estudiando esas condiciones técnicas necesarias -a menudo denominadas “axiomas" en cada una de las respectivas teorías - y obteniéndose los correspondientes resultados de cada teoría de forma aislada e independiente. En otras palabras, el economista probablemente no sepa mucho de Termodinámica, ni el químico tiene por que saber de psicología, de forma que cada cual trabaja en su campo y desarrolla sus propias teorías y modelos en paralelo.

Lo curioso del asunto es que en la mayoría de las ocasiones tales teorías están diciendo en realidad lo mismo en el plano abstracto, pues todas descansan sobre la misma base abstracta matemática, que no es otra que la teoría de las representaciones numéricas de estructuras ordenadas. De tal raíz sale todo, y lo único que cambiara en cada caso es el lenguaje que cada teoría concreta está utilizando. As, una función de utilidad es matemáticamente lo mismo que una función de entropía, aunque los contextos sean muy distintos.

En los años recientes, se ha estudiado y analizado, desde diferentes puntos de vista, una “asombrosa similitud" entre el problema de representación de utilidad en economía y el problema de representación de entropía en Termodinámica (véase e.g. [2]). Ciertamente, si bajamos al substrato matemático abstracto común, la similitud no debe parecernos asombrosa, sino totalmente natural, incluso evidente.

Mi primer trabajo en el marco del Institute for Advanced Materials (InaMat) de la Universidad Pública de Navarra, recientemente publicado (véase [1]), ha consistido en una colaboración entre colegas del Departamento de Matemáticas, al que pertenezco, y del Departamento de Química Aplicada.

En él hemos analizado el uso de estructuras ordenadas de tipo ordenes intervalo para interpretar situaciones encontradas en procesos químicos en las que aparece algún tipo de intransitividad. Estas intransitividades parecen contradecir la teoría clásica de Entropía basada en la, as denominada, axiomática de Carathéodory.

En este artículo hacemos ver como la teoría de representaciones de ordenes intervalo arroja luz sobre estas aparentes “contradicciones" en una teoría clásica, y explica por qué puede ser necesario hacer uso de dos medidas de entropía diferentes, en vez de limitarse a una sola.

Espero que esta colaboración sea solo una primera piedra de un gran edificio.



Research Institutes
Jeronimo de Ayanz Building
Public University of Navarre
Campus de Arrosadia 31006 - Pamplona
Tel. +34 948 169512
Contact by E-mail