Universidad Pública de Navarra - Nafarroako Univertsitate Publikoa

Módulo/Materia

Optativa.

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Descripción/Contenidos

Análisis cualitativo de ecuaciones diferenciales ordinarias. Sistemas lineales, ecuaciones periódicas, sistemas discretos, linealización, teoría de perturbaciones. Introducción a la teoría del caos. Ejemplos y aplicaciones.

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Competencias genéricas

El objetivo del curso es proporcionar al alumno una base teórica y aplicada con los métodos cualitativos y cuantitativos necesarios para un análisis de sistemas dinámicos no lineales de interés en física, química e ingeniería.

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Competencias específicas

CE1840 - Ser capaz de elaborar y desarrollar razonamientos matemáticos avanzados y de abstraer las propiedades esenciales de los distintos objetos matemáticos y aplicarlas en otros contextos.

CE1841 - Ser capaz de elaborar modelos para captar y explicar una parcela de la realidad, de analizarlos y estudiar cómo será cualitativamente su solución.

CE1856 - Ser capaz de comprender y resolver problemas matemáticos avanzados, planificando su resolución en función de las herramientas disponibles y de las restricciones de tiempo y recursos.

CE1859 - Ser capaz de modelizar y diseñar algoritmos para solucionar problemas prácticos de aplicaciones matemáticas en otras ciencias o en un entorno profesional.

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Resultados aprendizaje

Después de cursar esta asignatura se espera que el alumno sea capaz de:

R1 - Distinguir distintos tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias: lineales o no lineales, dependientes del tiempo o autónomas, y extraer algunos resultados como primera parte del análisis de un sistema específico: puntos de equilibrio y estabilidad lineal, existencia de soluciones periódicas en algunos casos, posibilidad de aparición de caos, etc.

R2 - Resolver ciertos ejercicios de teoría cualitativa de ecuaciones diferenciales aplicando los resultados explicados en clase: análisis de algunos modelos dependientes de parámetros discutiendo diferentes tipos de solución, establecimiento de algunas soluciones invariantes: órbitas periódicas, variedades invariantes, etc.

R3 - Familiarizarse con algunos ejemplos provenientes de aplicaciones de los sistemas dinámicos en diversos campos, como las ecuaciones lineales y no lineales en teoría de circuitos, sistemas hamiltonianos provenientes de astrodinámica, sistemas típicos de tipo depredador-presa en biología o algunos sistemas caóticos en modelos simples de neurociencia, etc

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Metodología

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Evaluación

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Temario

1. Introducción a los sistemas dinámicos
1. Definiciones y ejemplos. Aplicaciones.
2. Existencia y unicidad de solución.
2. Sistemas lineales
1. Sistemas homogéneos.
2. Sistemas no homogéneos.
3. Comportamiento asintótico y estabilidad.
3. Ecuaciones autónomas, puntos críticos y órbitas periódicas
1. Espacio de fase y órbitas.
2. Puntos críticos, órbitas periódicas.
3. Variedades invariantes, linealización e hiperbolicidad.
4. Estabilidad
1. Ejemplos.
2. Estabilidad de las soluciones de equilibrio y de las soluciones periódicas.
3. Modelos y aplicaciones (problema de dos cuerpos, modelos en astrodinámica).
5. Introducción a la teoría de perturbaciones
1. Ejemplos.
2. El método de los promedios.
3. Cálculo de soluciones periódicas.
4. Modelos y aplicaciones (modelos en química).
6. Introducción a la teoría de bifurcaciones
1. Ejemplos.
2. Cálculo numérico de soluciones periódicas.
3. Bifurcaciones de puntos de equilibrio y órbitas periódicas.
4. Modelos y aplicaciones (modelos en biomatemáticas).
7. Introducción a la teoría del caos
1. Ejemplos.
2. Herradura de Smale y teoría del caos.
3. Bifurcaciones globales.
4. Estudio numérico de sistemas caóticos.
5. Modelos y aplicaciones (modelos en neurociencia).

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Bibliografía

Acceda a la bibliografía que el profesorado de la asignatura ha solicitado a la Biblioteca.

•  Bibliografía básica:
• F. Verhulst, Nonlinear differential equations and dynamical systems, 2nd edition, Springer-Verlag, Berlín, 2000.

•  Bibliografía complementaria:
• P. Glendinning, Stability, instability and chaos, Cambridge University Press, Nueva York, 1994.
• F. Diacu, An introduction to differential equations: order and chaos, W. H. Freeman & Company, 2000.
• Y. A. Kuznetsov, Elements of applied bifurcation theory, 3rd edition, Applied Mathematical Sciences, 112, Springer-Verlag, Nueva York, 2004.
• E. Ott, Chaos in dynamical systems, 2nd edition, Cambridge University Press, 2002.

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Idiomas

Castellano.

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Lugar de impartición

Para más detalles sobre la asignatura consultar la página oficial del máster.

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