Vibraciones de una cuerda fija en sus extremos
¿Por qué suena distinto, si es la misma cuerda?
Para una cuerda fija en sus extremos, aplicando las condiciones de frontera a la ecuación de ondas obtenemos que las longitudes de onda de los armónicos generados tienen que cumplir:
L = n·
λn/2.Siendo
λnla longitud de onda del armónico n-ésimo, n número entero y L la longitud de la cuerda.Es decir las longitudes de onda de los armónicos sólo pueden ser tales que un nº entero de semilongitudes de onda abarque la longitud de la cuerda.
La aplicación de las condiciones de frontera limita las soluciones posibles de ondas a una serie de funciones discretas. Estas funciones son los llamados modos propios. Asociada con cada una de estas soluciones hay una única longitud de onda y frecuencia ya que la velocidad de propagación es constante (c). Por tanto, las frecuencias de los armónicos son múltiplos enteros del primer armónico también llamado fundamental.
Los modos de vibración en cuerdas dependen tanto de las condiciones de contorno como de las condiciones iniciales de posición y velocidad para cada elemento diferencial de la cuerda. La aplicación de las condiciones iniciales de posición y velocidad nos permiten calcular la relación de amplitudes de los armónicos. En determinados casos algunos armónicos pueden anularse, como se ve a continuación.
En la mayor parte de los instrumentos de cuerda el ataque de dicha cuerda implica, desde el punto de vista de las condiciones iniciales, cambios en los desplazamientos, no en las velocidades. Por esta razón en los ejemplos que se muestran a continuación las velocidades iniciales son cero para cualquier elemento diferencial de la cuerda.
Cuerda con velocidad inicial cero. Pulsamos la cuerda en el punto medio (L/2). No se generan armónicos que tengan nodos en el punto donde se pulsa la cuerda. Por esta razón se anulan los armónicos pares. |
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Cuerda con velocidad inicial cero. Pulsamos la cuerda a una distancia igual a 1/4 de la longitud de la cuerda medida desde uno de los extremos. No se generan armónicos que tengan nodos en el punto donde se pulsa la cuerda. Por esta razón se anulan los armónicos multiplos de n = 4. |
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Variación del timbre en función de la posición de ataque en instrumentos de cuerda. |
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| En la siguiente gráfica se muestran las amplitudes de los 20 primeros armónicos para diferentes puntos de ataque de la cuerda. L/2 y L/4 se corresponden con los ejemplos ya mostrados. Se han incluido L/8 y L/16, es decir ejemplos de ataque más cerca de uno de los extremos de la cuerda. | |
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