Universidad Pública de Navarra



Año Académico: 2017/2018 | Otros años:  2016/2017  |  2015/2016 
Máster Universitario en Modelización e Investigación Matemática, Estadística y Computación
Código: 71509 Asignatura: Dinámica no lineal y aplicaciones
Créditos: 6 Tipo: Optativa Curso: 1 Periodo: Anual
Departamento: Ingeniería Matemática e Informática
Profesores
YANGUAS SAYAS, PATRICIA (Resp)

Partes de este texto:

 

Módulo/Materia

Optativa.

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Descriptores

Ecuaciones diferenciales y sistemas dinámicos.

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Competencias genéricas

El objetivo del curso es proporcionar al alumno una base teórica y aplicada con los métodos cualitativos y cuantitativos necesarios para un análisis de sistemas dinámicos no lineales de interés en física, química e ingeniería.

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Competencias específicas

CE1840 - Ser capaz de elaborar y desarrollar razonamientos matemáticos avanzados y de abstraer las propiedades esenciales de los distintos objetos matemáticos y aplicarlas en otros contextos.

CE1841 - Ser capaz de elaborar modelos para captar y explicar una parcela de la realidad, de analizarlos y estudiar cómo será cualitativamente su solución.

CE1856 - Ser capaz de comprender y resolver problemas matemáticos avanzados, planificando su resolución en función de las herramientas disponibles y de las restricciones de tiempo y recursos.

CE1859 - Ser capaz de modelizar y diseñar algoritmos para solucionar problemas prácticos de aplicaciones matemáticas en otras ciencias o en un entorno profesional.

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Resultados aprendizaje

Después de cursar esta asignatura se espera que el alumno sea capaz de:

 

R1 - Distinguir distintos tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias: lineales o no lineales, dependientes del tiempo o autónomas, y extraer algunos resultados como primera parte del análisis de un sistema específico: puntos de equilibrio y estabilidad lineal, existencia de soluciones periódicas en algunos casos, posibilidad de aparición de caos, etc.

R2 - Resolver ciertos ejercicios de teoría cualitativa de ecuaciones diferenciales aplicando los resultados explicados en clase: análisis de algunos modelos dependientes de parámetros discutiendo diferentes tipos de solución, establecimiento de algunas soluciones invariantes: órbitas periódicas, variedades invariantes, etc.

R3 - Familiarizarse con algunos ejemplos provenientes de aplicaciones de los sistemas dinámicos en diversos campos, como las ecuaciones lineales y no lineales en teoría de circuitos, sistemas hamiltonianos provenientes de astrodinámica, sistemas típicos de tipo depredador-presa en biología o algunos sistemas caóticos en modelos simples de neurociencia, etc

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Metodología

Metodología - Actividad Horas Presenciales Horas no presenciales
A-1 Clases expositivas/participativas 27 40
A-2 Prácticas 38 45
A-3 Debates, puestas en común, tutoría grupos 5 5
A-4 Elaboración de trabajo    
A-5 Lecturas de material    
A-6 Estudio individual    
A-7 Exámenes, pruebas de evaluación    
A-8 Tutorías individuales    
     
Total 60 90

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Relación actividades formativas-competencias

Competencia Actividad formativa
Presentación del marco teórico de los problemas fundamentales A-1, A-2
Análisis e interpretación de sistemas dinámicos de diferentes ramas de la ciencia A-1, A-2, A-3
Estudio de casos prácticos A-2, A-3

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Idiomas

Castellano.

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Evaluación

Resultado de aprendizaje Sistema de evaluación Peso (%) Carácter recuperable
 R1  Elaboración de ejercicios  35%  Sí
 R2  Elaboración de ejercicios  35%  Sí
 R3  Elaboración de ejercicios y prácticas de ordenador  30%  Sí

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Contenidos

Análisis cualitativo de ecuaciones diferenciales ordinarias. Sistemas lineales, ecuaciones periódicas, sistemas discretos, linealización, teoría de perturbaciones. Introducción a la teoría del caos. Ejemplos y aplicaciones.

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Temario

  1. Introducción a los sistemas dinámicos
    1. Definiciones y ejemplos. Aplicaciones.
    2. Existencia y unicidad de solución.
  2. Sistemas lineales
    1. Sistemas homogéneos.
    2. Sistemas no homogéneos.
    3. Comportamiento asintótico y estabilidad.
  3. Ecuaciones autónomas, puntos críticos y órbitas periódicas
    1. Espacio de fase y órbitas.
    2. Puntos críticos, órbitas periódicas.
    3. Variedades invariantes, linealización e hiperbolicidad.
  4. Estabilidad
    1. Ejemplos.
    2. Estabilidad de las soluciones de equilibrio y de las soluciones periódicas.
    3. Modelos y aplicaciones (problema de dos cuerpos, modelos en astrodinámica).
  5. Introducción a la teoría de perturbaciones
    1. Ejemplos.
    2. El método de los promedios.
    3. Cálculo de soluciones periódicas.
    4. Modelos y aplicaciones (modelos en química).
  6. Introducción a la teoría de bifurcaciones
    1. Ejemplos.
    2. Cálculo numérico de soluciones periódicas.
    3. Bifurcaciones de puntos de equilibrio y órbitas periódicas.
    4. Modelos y aplicaciones (modelos en biomatemáticas).
  7. Introducción a la teoría del caos
    1. Ejemplos.
    2. Herradura de Smale y teoría del caos.
    3. Bifurcaciones globales.
    4. Estudio numérico de sistemas caóticos.
    5. Modelos y aplicaciones (modelos en neurociencia).

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Bibliografía

Acceda a la bibliografía que su profesor ha solicitado a la Biblioteca.


  •  Bibliografía básica:
    • F. Verhulst, Nonlinear differential equations and dynamical systems, 2nd edition, Springer-Verlag, Berlín, 2000.
  •  Bibliografía complementaria:
    • P. Glendinning, Stability, instability and chaos, Cambridge University Press, Nueva York, 1994.
    • F. Diacu, An introduction to differential equations: order and chaos, W. H. Freeman & Company, 2000.
    • Y. A. Kuznetsov, Elements of applied bifurcation theory, 3rd edition, Applied Mathematical Sciences, 112, Springer-Verlag, Nueva York, 2004.
    • E. Ott, Chaos in dynamical systems, 2nd edition, Cambridge University Press, 2002.

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Lugar de impartición

Para más detalles sobre la asignatura consultar la página oficial del máster.

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