Universidad Pública de Navarra - Nafarroako Univertsitate Publikoa

Módulo/Materia

Módulo de Formación Común Industrial / Matemáticas Aplicadas a la Ingeniería

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Descripción/Contenidos

• Transformadas de Laplace. Propiedades. Cálculo de transformadas. Transformada inversa de Laplace. Propiedades y métodos de cálculo. Aplicaciones a la resolución de ecuaciones diferenciales e integrales. Aplicaciones en ingeniería.
• Series e integrales de Fourier. Forma compleja.
• Transformadas de Fourier. Propiedades. Cálculo de transformadas. Transformada inversa de Fourier. Fórmulas de inversión. Aplicaciones a la resolución de problemas de contorno. Aplicaciones en ingeniería.

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Competencias genéricas

CG3: Conocimiento en materias básicas y tecnológicas, que le capacite al estudiante para el aprendizaje de nuevos métodos y teorías, y le dote de versatilidad para adaptarse a nuevas situaciones.

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Competencias específicas

CFB1: Capacidad para la resolución de los problemas matemáticos que puedan plantearse en la ingeniería. Aptitud para aplicar los conocimientos sobre: álgebra lineal; geometría; geometría diferencial; cálculo diferencial e integral; ecuaciones diferenciales y en derivadas parciales; métodos numéricos; algorítmica numérica; estadística y optimización.

CFB3: Conocimientos básicos sobre el uso y programación de los ordenadores, sistemas operativos, bases de datos y programas informáticos con aplicación en ingeniería.

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Resultados aprendizaje

Cuando termina la formación, el estudiante es capaz de:

• R1- Conocer los aspectos básicos de series numéricas y de potencias, integración impropia y paramétrica.
• R2 - Manejar  conceptos básicos de variable compleja: representación de números en C, funciones complejas de variable real y funciones elementales de variable compleja.
• R3 - Conocer los fundamentos de las transformadas de Laplace y de Fourier, así como la teoría de series de Fourier.
• R4 - Conocer conceptos y terminología básicos en ecuaciones en derivadas parciales. Clasificar las ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden lineales.
• R5 - Resolver problemas de ingeniería que se modelizan mediante ecuaciones diferenciales ordinarias usando transformadas de Laplace.
• R6 - Descomponer y analizar señales mediante el empleo de series de Fourier.
• R7 - Resolver algunas ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden lineales utilizando separación de variables o transformadas integrales.

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Metodología

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Idiomas

Español. Se recomienda el dominio del inglés escrito para poder consultar bibliografía especializada.

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Evaluación

El sistema de evaluación planteado contempla tres opciones para aprobar la asignatura: Opción 1: aprobar los dos exámenes parciales realizados en el periodo ordinario de clases. Opción 2: Aprobar el examen final programado en el periodo habitual para los mismos. Opción 3: Aprobar el examen de recuperación programado en el periodo habitual para los mismos. En las tablas subsiguientes se dan algunos detalles más sobre porcentajes, temas  implicados en algunas pruebas y tipología de las preguntas.

Opción 1:

Opción 2:

Opción 3:

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Temario

1. Complementos de Cálculo

   1.1 Sucesiones y series numéricas. Criterios de convergencia de series.
   1.2 Series de potencias. Intervalo y radio de convergencia.
   1.3 Series de Taylor.
   1.4 Integrales impropias. Criterios de convergencia. Integrales paramétricas: derivación.
   1.5 Funciones eulerianas.  
   1.6 Prácticas de laboratorio.

2. Introducción a los números complejos

   2.1 El cuerpo C de los números complejos.
   2.2 Formas binomial y polar. Módulo y argumento. Fórmula de Euler.
   2.3 Funciones polinómicas. Teorema Fundamental del Álgebra.
   2.4 Funciones racionales. Ceros y polos.
   2.5 Funciones complejas de variable real: derivación e integración. Funciones complejas de variable compleja elementales.
   2.6 Prácticas de laboratorio.

3. Transformada de Laplace

   3.1 Definición y condiciones de existencia.
   3.2 Transformada inversa.
   3.3 Propiedades fundamentales.
   3.4 Convolución e impulso. Funciones de transferencia.
   3.5 Aplicación a la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias, integro-diferenciales, de problemas de valor inicial y de contorno.
   3.6 Prácticas de laboratorio.

4. Series de Fourier

   4.1 Series de Fourier trigonométricas.
   4.2 Extensiones periódicas, extensiones periódicas pares e impares.
   4.3 Teoremas de convergencia. Derivación e integración de series de Fourier.
   4.4 Espacios de Hilbert, sucesiones ortonormales y series de Fourier generalizadas.
   4.5 Prácticas de laboratorio.

5. Problemas de Sturm-Liouville

   5.1 Autovalores y autofunciones de operadores diferenciales lineales.
   5.2 Problemas regulares y periódicos. Propiedades de sus soluciones.
   5.3 Introducción a los problemas singulares: ejemplos de interés práctico; funciones especiales relacionadas.
   5.4 Prácticas de laboratorio.

6. Ecuaciones en derivadas parciales: separación de variables

   6.1 Nociones básicas sobre ecuaciones en derivadas parciales
   6.2 Ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden. Clasificación y ejemplos.
   6.3 Ecuaciones del calor, de ondas y de Laplace.  
   6.4 Problemas de contorno. Método de separación de variables.
   6.5 Prácticas de laboratorio.

7. Transformada de Fourier
   7.1 Definición y ejemplos. Teorema integral de Fourier. Lema de Riemann-Lebesgue.
   7.2 Propiedades operacionales básicas.
   7.3 Convolución.
   7.4 Aplicaciones: resolución de ecuaciones diferenciales en dominios no acotados mediante transformadas integrales; problemas de potencial, transmisión de calor y vibraciones.
   7.5 Prácticas de laboratorio.
   

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Programa de prácticas experimentales

Habrá varias sesiones prácticas que se programarán para ser realizadas en aula de informática, guiadas por el profesor, con el fin de desarrollar las prácticas de laboratorio con las que finaliza cada tema (ver Temario).

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Bibliografía

Acceda a la bibliografía que el profesorado de la asignatura ha solicitado a la Biblioteca.

Bibliografía básica

1. Kreyszig, E.O.: Matemáticas avanzadas para Ingeniería, Limusa Wiley, cuarta edición, 2 volúmenes, 2013 (II v.) y 2016 (I v.).
2. Andrews, L.C. y Shivamoggi, B.K.: Integral transforms for engineers and applied mathematicians, MacMillan, 1988.
3. Nagle, R.K., Saff, E.B. y Snider, D.A.: Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera, Pearson Educación, cuarta edición, 2005.

Bibliografía complementaria

1. O'Neil, P.V.: Matemáticas avanzadas para Ingeniería, Engage Learning, séptima edición, 2014.
2. Bracewell, R.N.: The Fourier transform and its applications, McGraw-Hill, tercera edición, 2000.

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Lugar de impartición

Aulario de la Universidad Pública de Navarra

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